Bedingte Wahrscheinlichkeit

Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit von dem gewünschten Ereignis, welches man berechnen möchte, von einem anderem Ereignis zuvor abhängt.

Tipp: Wenn Du noch Hilfe benötigst, schau dir unsere Begriffserklärungen an

Wenn wir zwei aufeinanderfolgende Versuche durchführen, wird der zweite Versuch ggf. vom ersten Versuch beeinflusst.
Um dies besser zu verstehen sehen wir uns zunächst einmal einige Sachzusammenhänge an!

Falls du etwas nicht verstehst, lies dir lieber noch einmal die Einleitung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung durch.

Beispielaufgabe (Urnenexperiment)

Gegegeben sei eine Urne mit 5 schwarzen und 5 weißen Kugeln!
Wir möchten nun mit geschlossenen Augen eine Kugel ziehen und dafür die Wahrscheinlichkeit berechnen. Wenn wir eine Kugel gezogen haben, legen wir diese nicht wieder in die Urne zurück.

Diesen Vorgang (Entnahme eines Elements, ohne es zurück zu legen) nennt man hypergeometrische Verteilung.

Der Versuch
Beim ersten Zug ziehen wir eine weiße Kugel.
Es befinden sich also 5 schwarze, aber nur noch 4 weiße Kugeln in der Urne. Es ergibt sich also eine andere Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zug.

Beim ersten Zug betrug die Wahrscheinlichkeit für beide Ereignisse (schwarze Kugel / weiße Kugel) noch 50%, weil:

1. Zug

Vorhanden:
5 weiße Kugeln
5 schwarze Kugeln

Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel:

P(weiße Kugel) =

5 weiße Kugeln
____________________
10 Kugeln insgesamt

(=) 5 / 10
(=) 0,5
(=) 50%

Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel:

P(schwarze Kugel) =

5 schwarze Kugeln
____________________
10 Kugeln insgesamt

(=) 5 / 10
(=) 0,5
(=) 50%

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die schwarze Kugel auch 50%, da genau die gleiche Anzahl an Ergebnissen (Kugeln der jeweiligen Farbe) vorliegen.

Merke!
Wenn die verschiedenen Ereignisse die alle die gleiche Anzahl an Ergebnissen besitzen, besitzen sie auch alle die gleiche Wahrscheinlichkeit!
Beispiel: Beim ersten Wurf gibt es für das Ereignis weiße Kugel 5 Ergebnisse (also Möglichkeiten, dieses Ereignis zu erreichen).
Für das Ereignis schwarze Kugel gibt es ebenfalls 5 Ergebnisse (also Möglichkeiten, dieses Ereignis zu erreichen).
Da beide Ereignisse nun die gleiche Anzahl an Ergebnissen besitzen, ist die Wahrscheinlichkeit für beide Ergebnisse gleich. Wenn wir die Kugel nach dem Ziehen nicht zurücklegen, und dann noch einen Zug machen, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit aber!

Der 2. Zug, abhängig vom ersten.

Wir kommen nun zum zweiten Zug. Dieser ist abhängig, oder auch bedingt vom ersten Zug! Denn je nachdem, was wir beim ersten Zug gezogen haben, fehlt uns diese Kugel jetzt und verschlechter oder verbessert die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis.

Wir gehen unserem Beispiel folgend davon aus, dass wir beim ersten Zug eine weiße Kugel gezogen haben.
Anfangs hatten wir 10 Kugeln, bestehend aus 5 weißen und 5 Schwarzen in der Urne. Nun befinden sich dort nur noch 4 weiße und 5 schwarze Kugeln, insgesamt also 9 Stück!

Wenn wir eine schwarze Kugel ziehen möchten, ist das positiv für uns. Denn es gibt immernoch 5 schwarze Kugeln, so wie beim ersten Zug, aber nur noch 4 Gegenergebnisse. Gegenergebnisse sind die Ergebnisse, die nicht eintreten sollen. Hier wären das also die weißen Kugeln.

Wir erinnern uns zurück an die einfache Wahrscheinlichkeit!
Es gilt immernoch:

Anzahl der passenden / gewünschten Ergebnisse
_______________________________________________
Anzahl aller Ergebnisse

Wahrscheinlichkeit für die schwarze Kugel:

P(schwarze Kugel)

Passende Ergebnisse: 5 (Da es fünf schwarze Kugeln gibt, die gezogen werden können)
Anzahl aller Ergebnisse: 9 (Da es fünf schwarze und 4 weiße Kugeln gibt, die gezogen werden können)

Das bedeutet mathematisch:

5
__
9

(=) 0,55
(=) 55%

Wahrscheinlichkeit für die weiße Kugel:

P(weiße Kugel)

Anzahl passender Ergebnisse: 4 (Da es ursprünglich 5 weiße Kugeln gab, und wir in Zug 1 schon eine weiße Kugel gezogen haben, die wir nicht zurückgelegt haben)
Anzahl aller Ergebnisse: 9 (Da es vier weiße und 5 schwarze Kugeln gibt)

Mathematisch verfasst:

4
__
9

(=) 0,45
(=) 45%

Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu vereinfachen und grafisch darzustellen, benutzt man Baumdiagramme.
Darin kann man sofort erkennen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes bedingtes Ereignis ist.

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